我们在这篇研究随机走动(random walk)。想象有一个点，每次可以随机的前进或退后一步，之后记录其与原点的距离。看似这个过程很简单，却可以利用其结论分析一些时间序列，例如销售额，股票价格等等。随机走动最初是用在研究物理学中液体和气体中粒子的运动，后来发现在生活中的很多现象也符合随机走动。 伯努利瓮模型 我们这里首先利用伯努利瓮模型研究随机走动。假设有一个装了灰球和白球的瓮，其中灰球有G个，白球W个。每一次从中取出一个球，记录抽取出来球的颜色。在下一次抽取之前，球要放回瓮中。每次抽到灰球的概率是 $P = \frac{G}{G + W}$。在抽取N次的情况下，可以计算出抽取出来的灰球的期望数量是$N_G$, 其标准差是 $\sigma_{N_G}$……

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这一篇我们来讨论“熵”的概念。熵可以用来计算一个系统中的失序现象，即混乱程度。简单来说，一个事件的熵越高，其可能带来的惊喜越大，因为其结果是无序，不可预测的。熵是一个用来描述系统状态的函数，在控制论、概率论、天体物理、生命科学中等领域都有应用。这里我们研究其在信息中的定义和应用。 信息熵 熵可以度量与结果概率分布相关的不确定性。我们可以利用抛硬币来进行理解，对于抛硬币的结果，只有正反面两种可能，其概率都是1/2，其不确定性较小，无论怎么猜都有50%的概率回答正确。但如果抛三次硬币，其可能出现的序列就有8种，如果我们想猜对的难度就大大增加。 给定一个概率分布$(p_1, p_2, p_3, p_4 … P_N)$,其信息熵H等于: $$H(p_1, p_2, p_3, p_4 … P_N) = - \sum ^N_{i=1} p_i log_2(p_i)$$……

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这里我们将讨论三种传播模型，和目前世界正在经历的covid-19息息相关。这些模型同时也可以用来研究信息、技术、行为在人群中的传播，模型会将人群分为两部分，分别是知道的（感染的），不知道的（健康的），通过定义一些参数研究其中互相转换的关系。 广播模型 我们假定有一个固定人数的群体，其总人数是$N$。我们将$t$时刻知道这个信息的人看作$I_t$,除了这些知道信息的人以外，剩下的人都是可能获取信息的人，我们称作$S_t$。总人数 $N = S_t + I_t$。 $$ I_{t+1} = I_t + P_{broad} \times S_t$$……

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生活中处处有网络模型的存在，从传染病的传播到网络中站点连接，都可以抽象成一张张网络，将不同的节点连接起来。这篇将走进网络的基本结构，帮助大家理解一些生活中的现象。 网络的基本术语 网络是由节点和边组成的。每一个节点都可以通过边的连接到达另一个节点，这两个节点互为邻居。如果从一个节点可以到任意一个节点，我们称之为连接的网络。 在无向网络中，我们对于每个节点的连接数可以定义为节点的度（degree)。度分布可以告诉我们某个节点是不是比其他的节点连接的更多。 路径长度是指两个节点中的最短路径长度，与度成反比。当增加边的时候，就缩短了节点之间的平均长度。介数是指通过该节点的最小路径的百分比。在社交网络中，介数得分高的人掌握更多信息并且拥有更多权力。 最后一个基本术语是聚类系数，这个统计了一个节点的邻居们互相连接的比例。例如，一个人有10个朋友，这些朋友可以组成45个对。如果在这45个对当中，有15个对本身也是朋友，那么这个人的聚类系数就等于1/3。如果所有这45对都是朋友，那么这个人的聚类系数就等于1，这也是最大的聚类系数。整个网络的聚类系数等于各个节点聚类系数的平均值。 下面用中心辐射网络和地理网络举个例子： 中心辐射网络是所有节点和中心节点相连，但是都不互相连接。其基本的统计术语也比较好理解。 地理网络是每个节点都连接到位于它右侧和左侧的两个节点。每个节点具有相同的度，都是4。由于网络是对称的，所以每一个节点的介数也是相同的。这里一共12个节点，可以组成 12*11/2 = 66 个邻居对。其中一个节点是有6对邻居经过其是最短路径，所以介数是1/12。每个节点都有4个邻居，可以构成6个对。在这6个对中，恰好有3对是相互连接的：直接靠着该节点的左右两个节点分别连接到再外一点的节点，并相互连接。因此，聚类系数等于1/2。……

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当人们在进行合作的时候，我们需要对于每个人的贡献进行分析，从而知道哪一个人对于群体的贡献最大，哪一个最小，以此可以作为分配奖励的标准。然而量化分析这个并不容易，因为当不同人组合在一起时，可能就会产生不同的结果。我们介绍几个与此相关的概念来解决这个问题。 合作博弈 合作博弈由一组博弈参与者和一个价值函数组成。价值函数是指在一项多人合作的项目中，每个可能的联盟（子集）所产生的价值。 在合作博弈中，一个参与者的”最后上车者价值“ （last-on-bus-value）是指当他最后一个加入组织所产生的价值。例如，如果一个桌子四个人才能搬动，搬动的价值是10，那么这四个人每个人的最后上车者价值就是10。如果三个人可以搬动，那个第四个人的最后上车者价值就是0。我们可以看出博弈的总价值不是所有参与者的最后上车者价值之和，如果当价值随着参与者增多递减时，最后上车者价值的总和将小于博弈的总价值。 最后上车者价值并不能很好的刻画每个人的贡献度，夏普利值（Shapley value）则可以。一个博弈参与者的夏普利值，等于他在所有可能加入的联盟的次序下对联盟边际贡献的平均值。对于一个$N$个人参与的博弈,一个有$N!$种可能加入的结果，对于某个参与者$i$, 计算在所有次序中当其加入对于整体的边际贡献的平均值。 我们可以用3个程序员合作写代码作为一例子，一个项目有500行需要写。以下是一个人单独做，两个人合作，以及三个人合作产生的结果。其中C可以看作程序员鼓励师，当一个做的时候结果不多，但是合作时可以大大提高两人的合作成果。 合作 价值 A 100 B 125 C 50 AB 270 BC 350 AC 375 ABC 500 3个人合作的话有6种可能……

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如果你要问我哪一本书改变了我的世界观，我一定会说这本《世界观–现代人必须要懂的科学哲学和科学史》。看副标题就知道这是一本讲科学史的书，然而其独特之处在于其叙述过程，讲述了整个人类社会对于我们所处的世界的认识的过程。从一开始对于世界粗浅的认识，到后来是如何通过新的证据，不断推翻之前的见解建立起如今对于世界的认知的。 世界观是什么呢？书中对其的定义就是每个人对于这个世界的认识的集合，这些认识就像拼图一样紧密的拼接组一起。他们之间互相依赖紧密，如果中间任意一块不对，那么整个世界观可能就会土崩瓦解。在亚里士多德时期，人们有以下的一些观点： 地球是禁止不动的。地球位于宇宙中心。 每种基本元素都有一个基本性质，这一基本性质决定了元素的表现特征。 这些观点在我们看来是错误的，因为我们知道地球是绕着太阳旋转的，同时也是在自转的。但是我们可以仔细想想，究竟生活中什么现象可以证明这一点呢？我们每天看到太阳东升西落，并不能体会到大地的运动，从我们本身观测到的日常经验很难证明我们脚下的地球是在动的。这个世界观从公元前300年一直持续到公元1600年，都没有人去质疑。直到17世纪，由于望远镜的发明，人们通过更严谨的观测和计算，发现了地球是绕太阳转这个事实。牛顿也通过自己的研究以及总结前人的观点得到了牛顿三大定律，建立了牛顿的世界观体系。 本书的前十章介绍了一些科学定义，例如真理、事实、推理模式等等。这些概念看似简单，但也不好定义。真理的定义是“被证实的或者不存在争议的事实”，而事实的定义是“被认为为真的事物”。以观察为基础的事实，通常被称为经验事实。但大部分东西并不是你看不到就不存在的。人们深信不疑的一些观点，在很大程度上依赖于对我们所生活的世界的哲学性 / 概念性认识，通常称之为“哲学性 / 概念性事实”。关于经验事实和概念性事实，并不是两个完全区分开的观点，他们很多时候都是相互依存的。这就让我想起了黑客帝国里面的探讨，怎么知道所感知到的就是真实的呢？书中对于这些问题的定义可以帮助我们对于后面的内容进行理解。……

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这一篇我们讨论非线性模型，不过由于非线性模型会有各种各样的形状，在这里我们只研究最普遍的凸函数和凹函数。 凸函数 凸函数的斜率是递增的，其中比较常见的是指数增长模型。 时间t的资源值为$V_t$, 其初始值为$V_0$, 且以速率R增长，可以写成： $$V_t = V_0 (1+R)^t$$……

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模型通常是假定变量之间存在特定的函数关系，而线性关系是最简单也是应用最广泛的。 线性模型 在线性模型里，有自变量和应变量，应变量随着自变量的改变而改变。举一个例子，假如树木的高度与树木的年龄呈线性关系，那么树木每年生长的高度相同。线性模型用数学语言描述如下: 在线性模型中，自变量x的变化，会导致因变量y的线性变化： $$y = mx + b$$……

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一本好书改变我们的认知。今天给大家推荐吴军的《浪潮之巅》，这是一本值得每一个高科技从业者所阅读的书。 这本书主要讲了美国高科技公司在这近百年的发展历程，从五十年代的霸主AT&T讲到谷歌，云计算的发展。在这之外还利用了一些章节介绍与这些科技企业创立密不可分的风险投资银行，斯坦福大学，不同公司的商业模式。阅读本书可以帮助读者了解与整个行业相关的方方面面。 在科技发展史上，总有一些公司很幸运地站在了技术革命的浪尖上，一旦站在那个位置，即使不做任何事情，也可以随着波浪顺顺当当向前飘十年甚至更长时间。他们站在时代的浪潮之巅上，被当时的年轻人所追逐。 AT&T虽然现在只是一个电信运行商，但是他的历史可以追溯到电话的发明人贝尔。由于它在电信业务的垄断地位，资助了自1925年成立的贝尔实验室，成为历史上最大最成功的私人实验室，在这里诞生了晶体管，unix系统，第一颗商用卫星等等，作者在1997年也在那里实习过。由于公司在20世纪末一系列错误决定，导致AT&T公司的辉煌不再。 另外，我们所熟知的苹果公司在80年代的个人电脑上也占据了统治地位长达10年之久，直到微软通过多年钻研发布windows 3.0之后才将其打败。微软则靠windows操作系统垄断在科技行业几乎战无不胜，占据老大的地位多年。近些年由于互联网的兴起，谷歌又通过掌握了互联网的入口站在了浪潮之巅。书中还写到了IBM，英特尔，甲骨文，思科这些曾经辉煌目前还存在的公司，也写了例如太阳，网景公司这些与成功失之交臂，最后退出历史舞台的公司。读后让我对于这些公司的发展历程有了更进一步的认识。 本书不仅讲了科技企业的发展史，还提到了一些科技行业的定理，例如安迪-比尔定律，70-20-10定律。70-20-10定律是说的在科技行业，老大占市场的70%，老二占20%，剩下的占10%。例如个人电脑市场，微软第一，苹果第二；例如处理器市场，英特尔第一，AMD第二。作者也在书中解释了一些可能产生自现象的原因。 书中也介绍了一些关于投资银行的金融知识，看似与科技史的主题有所偏差，其实这也是科技企业发展的重要一环。在创业早期，没有资金就无法发展壮大。华尔街的投资人为这些创始人的成功带来了最初的启动资金，在企业成功后公司就面临着提升股价和专注技术的冲突。书中的一些公司的失败也正是因为这种冲突产生的短视，虽然有短时的利益，但是长期对于公司则是致命的打击。 著名的风险投资银行：红杉资本……

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这一篇讨论的是幂律分布(power law distribution)。这个分布在生活中十分常见，如果当我们发现会出现一些极端的情况，视频下载量、书籍销量、学术论文引用数量、战争中的伤亡人数、洪水和地震等等，这就是幂律分布。而这些极端情况就在这长长的尾巴里，也被称为长尾分布。 幂律分布的定义 在正态分布里，我们要求事件是互相独立的，而在幂律分布中，事件则不是互相独立的，而且通常是以正反馈的形式出现的。当一件事情发生之后，也会更频繁地发生类似的事情。 我们可以用数学公式来定义幂律分布。事件发生的概率与事件大小的负指数成比例。事件越大，发生的可能性越小。 一个定义在区间 $[x_{min}, \infty]$ 的幂律分布可以写成:……

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