人们通过合作可以实现1+1>2的效果，但并不是所有人在面对选择时都会采取合作，合作背后的机理是什么？在这一篇中我们通过囚徒困境的例子对合作的行为进行建模分析。 囚徒困境 人们在面对和他人相处时有两个最基本的选择，合作(为了共同的利益)以及背叛(只顾及自己的利益)。 囚徒困境博弈的名称源于如下故事。有两个人，被控共同犯下了某种罪行。有关当局只掌握了间接证据，因此给他们每个人都提供了认罪减刑的机会。两人因此面临着两难选择：如果两人都不认罪，那么每个人都会（根据现有证据）受到轻微的惩罚；如果只有一人认罪，那么认罪的这个人不会受到惩罚，而另一个人则会受到很严厉的惩罚；如果两人都认罪，那么两人都会受到较严厉的惩罚，但是不会像只有一个人认罪时那么严厉。 下图将这个故事变成一个双人博弈，合作带来的总体收益最大，但是不能达到个人利益最大化。当一个人背叛另一个人合作，可以使得背叛的人达到最大的利益，但是合作的人则获得最小的收益当两人都背叛，所获得的总体收益最小。 将其中的数字抽象，并且将两者都背叛的利益都看作0。下面的不等式反映了之间收益的差距。 维持合作 在讨论维持合作时，我们假设参与博弈的人都采用一种策略：只要一方背叛，另一方将持续背叛。 对于理性的人，当博弈会重复发生的时候，持续的合作就有可能发生。当博弈以P的概率发生时，当以下条件满足： $$P > \frac{(T-R)}{T}$$……

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博弈论是研究面对不同情况如何进行对策的科学，在这一篇中将简单的介绍两种博弈形式。 零和博弈 在零和博弈中，每个参与者选择一个行动，并根据自己的行动和对手的行动获得一定的收益，双方的收益总和为0。 例如下图这个两个人选硬币正反的博弈，如果两人的选择结果相同，一个玩家获胜，如果不同那么另一个玩家获胜。 提到决策策略，那么就要提到纳什均衡了。这个是指有一种策略，它们能够使每个博弈参与者的策略在给定其他博弈参与者策略的情况下是最优的。在这个游戏中，存在一个唯一的均衡策略，那就是，两个博弈参与者都以相同的概率在两个行动之间进行随机化。如果行博弈参与者以1/2的概率选择正面朝上、1/2的概率选择背面朝上，无论他的选择到底是什么，列博弈参与者的收益都为零。正因为如此，随机化是列博弈参与者的最优策略。根据对称性，随机化也是列博弈参与者的最佳选择。 其实这也可以应用在我们玩的石头剪刀布上，如果我们不是随机选择的话，那么任何非随机性都可能会被对手利用。 序贯博弈 在序贯博弈中，博弈参与者按照某个特定的顺序采取行动。由此，可以用一棵博弈树（gametree）来表示一个序贯博弈。博弈树由节点和边组成，每个节点对应于博弈参与者必须采取行动的时刻，该节点的每条边分别表示可以采取的某个行动。在博弈树最末尾的分支上，我们写下相应行动路径的收益。 在市场进入博弈中，有两个博弈参与者：拟进入者和现有企业。如果拟进入者选择不进入市场（博弈树的左侧分支），那么它的收益为零，现有企业的收益为5。如果拟进入者决定进入市场，那么现有企业必须做出选择：是接受新进入者，同时自己的收益从5下降为2，还是发动与新进入者的商战，但这会导致自己的收益变为零，同时令新进入者的收益为负。之所以假设这种情况下新进入者的收益为负，因为它必须为进入市场付出一定的成本。 在序贯博弈中，可以选择子博弈完美均衡来做选择。运用逆向归纳法来求解子博弈均衡：从最末端的节点开始，并在每个节点处选择最优行动。然后沿着博弈树逆向倒推，假设每个博弈参与者会在给定另一个博弈参与者在后续节点上的行动时选择最优行动。例如，在市场进入博弈中，我们从现有企业的末端节点开始推导。它有一个最优行动，即接受对方进入。然后移动到博弈树上面的节点，不难发现拟进入者的最优策略是进入。……

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这两个模型主要可以用来研究人们在做选择的两种模式，可以用来刻画消费者的选择行为。 我们会将某些属性描述为空间属性，而将其他属性描述为享受属性。空间属性，例如夹克的颜色或一片面包的厚度，没有最优值。每个人都喜欢某种特定“数量”的这类属性：一个购买猪排的消费者有自己喜欢的辣度，一个业余滑雪运动员在滑下斜坡时有自己喜欢的下降角度。产品的属性越接近理想水平，消费者对产品的评价就越高，而且理想水平因人而异：一个人可能比另一个人更喜欢辣一些的猪排。 在享受属性上，更多（或者在某些情况下更少）总是意味着更好。人们喜欢智能手机的待机时间更长一些，房间的面积更大一些，皮鞋的鞋底更耐磨一些，自己的汽车更省油一些。不过，在现实世界中，大多数选择都是“混合型”的：人们既会考虑空间属性，也会考虑享受属性。 空间竞争模型 空间竞争模型假设备选项可以用一组属性来定义，消费者则可以用一系列理想点来定义。假设用户只在一个属性上做选择，可以把用户的兴趣在数轴上做出反应。而提供商品的商家假设只有一个商品，可以满足这个属性的一个值。在下图中a和b可以看作是两个商家，距离a和b越近的用户就会选择他们。所以中间存在一个分界点d，分割不同的用户选择。 一般的空间竞争模型可以包括任意数量的属性。一个物品总是有不同的属性的，比如，沙发可以通过多个物理维度来描述：长度、宽度和深度，结构类型，以及室内装饰类型。消费者从产品中获得的价值（或效用）取决于产品在各个维度上与理想点的距离。我们可以用实际与用户理想点的距离来表现其竞争力。 唐斯空间竞争模型 接下来，我们应用空间竞争模型来分析政治候选人的意识形态立场“定位”。为了便于讨论，假设候选人都是追求投票最大化，也就是说，他们的首要目标是赢得选举。我们可以从一个简单的例子开始考虑，思考候选人的动机。如下图，候选人之间首先有一定的意见差距，获得其选民的选票。为了获得更多的选票，两个候选人都在往中间靠近为了争抢对方的选民支持。在下图中，可以看到两人的意见其实已经很接近了。这也是在美国大选中双方都需要争抢摇摆州的选票的原因。 享受竞争模型 在享受竞争模型中，各备选项（通常是各种产品）也是用属性来表示的。但是，在这种模型中，属性包括了质量、效率或价格，而且更多或者更少总是更受欢迎的。为了刻画每个属性的不同，享受竞争模型允许个体给不同维度赋予不同的权重。……

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基于阈值的模型就是指当外部变量超过或低于特定的阈值时，人们的行为所发生的变化，引起整体的改变。基于阈值的行为很直观，也很容易产生临界点，例如当一个人加入社交活动的决定取决于已经参与了该项活动的人数时，随着越来越多的人参与该活动，参与者的总人数也超过了其他人的阈值，从而导致了参与的人越来越多。 骚乱模型 在基于阈值的模型中，个体根据某个总量变量是否超过阈值而决定采取两种行动中的哪一种。如果变量的值超过阈值，个体就采取一个行动，否则，就会采取另一个行动。 骚乱模型为每个人分配一个阈值。当参加骚乱的人数超过那个阈值时，这个人就会参加骚乱。一开始，只有那些阈值为零的人才会参加骚乱。这里所说的“骚乱”是一般的社会活动而不是暴乱，因此在这种情况下，参加骚乱也仅是指参与聚会。 举个例子：假设第一天，有200个阈值为零的人发动了一场社会活动。第二天，这200人继续参加，于是参与阈值低于200的人也加入了他们的行列。假设第二天新加入的人有500人，那么第三天，阈值低于700的人也会加入。而这可能会涉及好几千人。 那么什么样的群体可以使得参与的人最多呢？聪明的读者可能觉得如果这个群体的平均阈值比较低，那么所有人加入的可能性越大。 对于这个问题，我们可以通过如下三种可能的情形对于此进行分析，假设一共有1000个人可能参与这个活动： 所有人的阈值都是10。 有5个人的阈值为零，10个人的阈值为1，其他人的阈值均为20。 这1000人中每个人都有一个独特的阈值，范围为从0到999。 对于第一种情况，没有人会参与活动，因为无法达到阈值。……

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在现实生活中，我们会遇到很多复杂的系统。其中各个部分存在正负反馈和相互依赖，我们可以通过系统动力学模型建立各个部分的关系，使得分析事情之间变化更加容易。 基本概念 系统动力学模型可以同时包括正反馈和负反馈。当变量或属性的增加导致同一变量或属性的更大增加时，就会出现正反馈。负反馈会抑制趋势，当一个变量出现快速增长，负反馈往往可以通过其他途径的作用将其变低。负反馈可以有助于系统层面的稳定性。 任何一个系统动力学模型都由源、汇、存量和流量组成。源产生存量；存量是某个变量的数量或水平；流量描述了存量水平的变化；汇能够捕获来自存量的流量输出；汇和源是不包含在模型中的过程的“占位符”；存量水平会根据源和流量随时间推移而变化。 下图的符号表明了系统动力模型的组成部分 这里我们利用面包师、面包和顾客组成的简单的面包店系统动力学模型：面包师制作面包，顾客购买面包。如果面包师生产面包的速度超过了顾客购买面包的速度，面包的库存量就会增加，面包店将会堆满面包。 在这幅图中，包括了一个从面包库存量到面包师生产面包的速度的流量（一个箭头）。我们在这个箭头上放了一个负号，以表示随着面包库存量的增加，生产面包的速度会下降。如果适当地调整速度，模型将产生一个均衡，使面包生产速度收敛于顾客购买面包的速度。 捕食者-猎物模型 我们现在介绍捕食者猎物模型，这是一个用来刻画野兔数量（猎物）与狐狸数量（捕食者）之间关系的生态模型。这个模型包括两个正反馈：野兔生下野兔、狐狸生下狐狸。它还包括一个负反馈：狐狸吃野兔。该模型假设野兔的存量水平很高，狐狸会产生更多的后代。 从图中可以看出，随着狐狸数量的增加，野兔数量的减少，从而又导致狐狸数量减少。而随着狐狸数量的下降，野兔数量应该增加，进而导致更多的狐狸。逻辑表明了循环的可能性，也可能是均衡，但我们无法确定。……

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马尔可夫模型对于理工科的同学来说应该很熟悉了，它可以用来刻画在一组有限状态之间不断转换的系统。马尔可夫模型可以应用于很多领域。我们可以用马尔可夫模型来解释动态现象，例如民主转型、战争升级和药物干预，还可以用于对网页、学术期刊和体育运动队进行排名，甚至可以用来辨别书籍和文章的作者身份。 马尔可夫模型的定义 马尔可夫由一组状态$S$ 和这些状态之间的转移概率构成$P$。每一个状态都可以通过固定的概率转换到另一个状态。 这是一个简单利用文本分析的例子，我们分析这么一句话。 “One fish two fish red fish blue fish”……

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在这一篇我们研究局部和整体相关的模型。当局部一致的时候，整体就会表现出一致吗？我们通过这篇的研究可以对于该问题进行很好的解释。 局部多数模型 这个模型建立在一个单元格的二维棋盘上，每个单元格有两种状态，0或1。初始时，我们将给每个单元格随机分配初始状态，之后每一个单元格的状态取决于其周围单元格的状态。在一个单元格周围的8个单元格中，有5个及以上的单元格是与之相反的状态时，这个单元格就会改变自己的状态。 下图展现了一个局部多数模型的均衡状态。虽然均衡状态取决于各个单元格的初始分布，但是对于初始条件并不敏感，改变一个单元格的初始状态导致的最终均衡状态改变的变化很小。 我们可以利用这个模型来刻画人与人之间的局部协调或一致性。假设每一个单元格都代表一个人的行动。这里的行动可以是任何行为惯例，例如握手或鞠躬，打断或举手。任何一个人都想选择一个与邻居相匹配的行动。棋盘代表社交网络。如果在计算机上对这个模型进行模拟，就会发现它总是能实现斑块状的均衡配置。许多单元格在1的状态下有一些邻居，在0的状态下也有一些邻居。 在斑块的交界处出现了次优均衡，如果1对应于以握手的方式表示欢迎、0对应于以鞠躬的方式表示欢迎，那么位于“斑块”边界上的人在与他们的邻居互动时可能会碰到一些尴尬的情况：当其他人准备握手时他们却准备鞠躬，或者当其他人准备鞠躬时他们却准备握手。如果每个人都选择了相同的动作，也就是说，如果他们解决了协调博弈问题，那么从整体上看，所有人都会更加开心。由于这种互动只作用于局部，因此出现了次优均衡。如果单元格是根据全局多数原则来匹配的，那么很快所有单元格都会处于相同的状态。这种观点意味着，创建共同行为可能需要影响更加广泛的网络。如果人们只在局部与自己的邻居协调，他们就会创造出各种各样的行为。因此矛盾的是，恰恰与协调产生了多样性。 生命游戏 这是一个很有意思的模型，有以下的规则： 方格上的每个单元格都或者是活的（1）或者是死的（0）。每个单元格的邻居由网格上的8个相邻单元格组成。单元格根据如下两个规则同步更新自己的状态： 活的规则：对于一个死单元格，当恰好有三个活的邻居时，这个死单元格就会变活。 死的规则：对一个活单元格，当活的邻居小于两个时或当有三个以上的活邻居死去时，这个活单元格就会死去。 根据这个规则可以得到一个简单的闪光灯均衡状态：……

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上一篇我们讲到随机走动，这一篇我们将继续延伸这个话题。如果每次的行动与之前的行为结果相关，我们就可以得到路径依赖模型。在生活中，我们穿的衣服、读的书、看的电影，以及任何需要我们付出时间的活动，都可以应用路径依赖来分析。 波利亚过程 我们利用波利亚过程来刻画正反馈的效应。这里我们依旧使用从瓮里取白球和灰球的实验。一只瓮里面装着一个白球和一个灰球。每一周期，都随机抽取出一个球并将这个球与和它颜色相同的另一个球一起放回到瓮中。抽取出来的球的颜色表示结果。 波利亚过程可以用来刻画各种社会和经济现象。一个人选择学习打网球，还是打篮球，可能取决于其他人的选择。如果更多的朋友选择学习打网球，那么这个人就更有可能也选择学习打网球，因为这会增加他找到伙伴打比赛的机会。与此类似，一个人决定购买什么类型的软件、学习哪种语言或购买哪款智能手机，也可能取决于他的朋友以前做出的选择。 波利亚过程可以得到两个性质： 具有相同数量的白色结果的任何序列都会以相同的概率发生 P(GWWW) = P(WWWG) 白球和灰球的每个分布都以相同的概率发生 P(白球出现1次) = P(白球出现n次) 第二个性质就可以说明极端情况的可能性，白球只出现1%和白球出现50%的可能性是一样的。我们可以通过实验这个结果，初始只有两个球，之后进行100次抽取，统计其中白球的数量。将此实验重复10000次，理论上每一种白球的分布出现次数在100次左右。结果如图，发现每一种可能都是在100次的上下波动。……

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我们在这篇研究随机走动(random walk)。想象有一个点，每次可以随机的前进或退后一步，之后记录其与原点的距离。看似这个过程很简单，却可以利用其结论分析一些时间序列，例如销售额，股票价格等等。随机走动最初是用在研究物理学中液体和气体中粒子的运动，后来发现在生活中的很多现象也符合随机走动。 伯努利瓮模型 我们这里首先利用伯努利瓮模型研究随机走动。假设有一个装了灰球和白球的瓮，其中灰球有G个，白球W个。每一次从中取出一个球，记录抽取出来球的颜色。在下一次抽取之前，球要放回瓮中。每次抽到灰球的概率是 $P = \frac{G}{G + W}$。在抽取N次的情况下，可以计算出抽取出来的灰球的期望数量是$N_G$, 其标准差是 $\sigma_{N_G}$……

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这一篇我们来讨论“熵”的概念。熵可以用来计算一个系统中的失序现象，即混乱程度。简单来说，一个事件的熵越高，其可能带来的惊喜越大，因为其结果是无序，不可预测的。熵是一个用来描述系统状态的函数，在控制论、概率论、天体物理、生命科学中等领域都有应用。这里我们研究其在信息中的定义和应用。 信息熵 熵可以度量与结果概率分布相关的不确定性。我们可以利用抛硬币来进行理解，对于抛硬币的结果，只有正反面两种可能，其概率都是1/2，其不确定性较小，无论怎么猜都有50%的概率回答正确。但如果抛三次硬币，其可能出现的序列就有8种，如果我们想猜对的难度就大大增加。 给定一个概率分布$(p_1, p_2, p_3, p_4 … P_N)$,其信息熵H等于: $$H(p_1, p_2, p_3, p_4 … P_N) = - \sum ^N_{i=1} p_i log_2(p_i)$$……

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