在我们的生活中，有很多的公共物品，例如公园、公路、图书馆等等。这些东西其实只是一部分人出资，而剩下的人都可以享用。但是如果每个人都想享用，就会出现没人想出资的情况。我们也可以把这个问题放到团队合作中，个体有很强的动机去“搭便车”——自己偷懒卸责，让别人去努力工作，他们也会对共享工作空间提出过度需求，以确保自己的团队有足够的工作空间。这里我们就研究一下集体和个体的贡献问题。

集体行动问题

在集体行动问题中，每个人都可以在做贡献与免费搭便车之间进行选择。搭便车符合个人利益最大化动机，因为这能为个人带来更高的收益。然而，当每个人都做出贡献时，整个群体能够获得更大的收益。

在集体行动问题中，N个人中的每个人都要选择是搭便车（f）还是为集体行动做贡献（c）。个人的收益取决于自己的行动和合作者的总数。个人可以通过搭便车获得更高的收益，即，Payoff(f，C)>Payoff(c，C+1)，但是当每个人都做出贡献时，所有人的收益总和实现最大化。这里的C是所有人的贡献。

公共物品供应问题

公共物品是与私人物品相对应的一个概念，消费具有非竞争性和非排他性特征，一般不能有效通过市场机制由企业和个人来提供，主要由政府来提供。非竞争性是指在消费过程中一些人对某一产品的消费不会影响另一些人对这一产品的消费，受益者之间不存在利益冲突。消费的非排他性，即任何人都不能因为自己的消费而排除他人对该物品的消费。

公共物品的非排他性和非竞争性导致了集体行动问题。这个问题的出现，不是因为人们不想做出贡献，而是在于人们低估了贡献的价值。每个人的贡献都可以增加每个人的效用。

有N个人，每人要将自己的收入I（I>N）配置到一种公共物品（PUBLIC）和一种私人物品（PRIVATE）上，每个单位的成本为1美元。每个人都有以下形式的效用函数：

$$Utility(PUBLIC, PRIVATE) = 2\sqrt(PUBLIC) + PRIVATE$$

这里假设效用是对于公共付出的凹函数和私人物品的线性函数。凹性对应于收益递减：一个人对某种东西估价随着对它消费的增多而减少。效用对公共物品数量的凹性，意味着公共物品的边际收益递减。人们因高速公路新增的第三条车道而获得的好处，大于因新增第四条车道而获得的好处。污染严重的空气变得清洁对人们的好处要比将清洁的空气中最后一点微尘彻底清理干净更大。

之所以假设私人物品的效用是线性的，是因为它其实代表着所有私人物品的组合。虽然实用函数对任何一种私人物品可能都是凹性的，无论是巧克力、电视机还是牛仔夹克，但是它对于所有商品来说则更可能接近于线性。

对于这个模型，其社会最优配置就是PUBLIC = N, 即每个人都为所有人出1美元。每个人也会随着集体的总数变大贡献越多。这样可以使得整个群体的总体的效用最大。

其均衡配置就是PUBLIC= 1/N。因为当有新的人加入时，其可以获得的效用和之前的人是一样的，这样他的贡献的动力就变低了。

因此，这个模型表明，随着人口规模的扩大，公共物品供给（不足）问题也会加剧。公共物品的最优水平提高了，但是人们贡献的动力却下降了。

但人们对于社会的贡献是有不同偏好的，所以人们可以根据自己的偏好将它们归入不同的社区。这就是所谓的蒂布特模型（Tiebout model），它为公共物品的供应问题提供了一个可能的解决方案。想要更好的学校、公园、游泳池和公共安全的人，可以投票支持征收更高的税收，以支付提供这些公共物品的费用。而那些不想要这些本地公共产品的人，则可以住进另一个社区，并只需要支付较低的税。

当然，蒂布特模型也不是万能的，它也不可避免地带来了一些成本，其中之一就是社会凝聚力会因此下降。此外，如果高收入人群以这种方式将自己与社会其他群体隔离开来，就会导致较贫困社区的公共物品供应进一步下降，并减少可以传递信息和知识的网络互动。

拥塞问题

第二个集体行动问题是拥塞模型，它刻画了道路、海滩、供排水系统等公共物品对个人的价值随着用户数量的增加而减少的现象。

在N人中，M人选择使用一种资源。其效用可以写成如下形式：

$$Utility(M)= B-\theta \times M $$

B表示最大收益，$\theta$是拥塞参数。其余（N-M）人不使用这种资源，并且效用为零。

社会最优解是： $M = \frac{B}{2\theta}$, 其效用是 $\frac{B}{2\theta}$

纳什均衡是： $M = \frac{B}{\theta}$, 其效用是 0

纳什均衡，指的是参与人采取的这样一种策略组合，在该策略组合上，任何参与人单独改变策略都不会得到好处。换句话说，如果在一个策略组合上，当所有其他人都不改变策略时，没有人会改变自己的策略，则该策略组合就是一个纳什均衡。

在纳什均衡解中，使用这种资源的人的数量恰好是社会最优解下使用这种资源的人的数量的两倍。这时，拥塞变得如此严重，以至于没有人能够获得任何收益。这个结果依赖于不使用这种资源的效用为零的假设。这个发现有一个违反直觉的含义：建一个美丽的公园可能并不能为社区居民带来太大的效用。在均衡状态下，公园将会变得非常拥挤，以至于在公园休憩并不会比待在家里更好。

可再生资源开采模型

第三个集体行动问题是可再生资源开采模型。在这种模型中，个人所利用的资源是能够再生的。这种模型适用于森林、河流、草原和渔业资源。

在这些情况下，未来可用资源的数量取决于现在使用的数量。如果使用得太多，资源就可能无法足够快地再生。资源可能无法快速再生这个事实使可再生资源利用问题比公共物品问题或拥塞问题更加脆弱。

令R(t)表示第t期开始时的可再生资源数量，再令C(t)表示第t期内耗用的资源的总量，g表示资源的增长率。那么，第t+1期的资源数量量由以下差分方程给出：

$$R(t)=(1+g)［R(t)-C(t)］$$

要使R(t)保持均衡，$C^* = \frac{g}{1+g} R$

可再生资源开采模型表明，资源的耗用水平有一个临界点。任何高于均衡开采率的资源开采率都会导致崩溃，资源总量将先缓慢下降，之后加速下降，最终导致非常突然的崩溃。

由于可再生资源增长率的变化要求开采率跟随资源增长情况而变化，我们知道管理可再生资源必须做到随时调整开采水平。

小结

在集体行动问题中，自利行为导致的结果与个人的目标是不一致的。当涉及的个人或参与者所属的群体越小、越同质化、信息越透明（采取行动更容易、系统状态可容易监测）时，集体行动问题往往更容易解决。家庭通常能顺利解决集体行动问题，但是国际组织却发现全球合作极其困难。要减少碳排放，需要大量不同的行动者之间的能力合作，而且它们所使用的监测机制是不精确的。解决这样的问题需要协调和执行机制。