这一篇我们讨论非线性模型，不过由于非线性模型会有各种各样的形状，在这里我们只研究最普遍的凸函数和凹函数。

凸函数

凸函数的斜率是递增的，其中比较常见的是指数增长模型。

时间t的资源值为$V_t$, 其初始值为$V_0$, 且以速率R增长，可以写成：

$$V_t = V_0 (1+R)^t$$

这个方程在金融、人口、生态以及技术等领域中都发挥了重要的作用。同时我们也可以推导出72法则：

如果增长率R保持不变（小于15%），那么可以得到一个很好的近似：翻倍所需的周期 $\approx \frac{72}{R}$

人口学家利用指数增长模型研究人口问题。如果每年人口增长6%，那么12年人口就会翻一倍，100年会翻8倍。早在1798年，英国人口学家托马斯就观察到了人口的指数增长现象，并指出如果经济体生产粮食的能力是线性增长的，就会出现粮食危机。不过后来人口出生率下降了，而且工业革命的到来也使得生产力大大的提升。

摩尔定律则是技术上的指数增长的一个应用：集成电路上可容纳的晶体管数目，约每隔18个月便会增加一倍，我们可以利用72定律知道大概增长率是每月4%。

具有负斜率的凸函数斜率则会越来越接近0,其中一个比较多的应用是半衰期模型。在物理中，每过H周期，数量就会衰减一半，这里H就是半衰期。人们发现不稳定的同位素碳-14，其半衰期是恒定的，为5734年。通过测定碳-14与稳定的碳-12的比例就可以估计化石的年龄。

在生活中的另一个应用就是人的记忆。在心理学的研究表明，人们学到的东西不会一直记住，而是以接近不变的速度忘记信息。人们记忆的半衰期取决于事件的显著性，当这件事对于人越重要，半衰期越长。所以人们在学习东西的时候需要不断定时重复，回忆所学内容，才能记住，延长其半衰期。

凹函数

凹函数与凸函数相反。凹函数的斜率是递减的。具有正斜率的凹函数会呈现收益递减的特点：当我们拥有的东西越来越多的时候，每次增加的东西所能带来的价值会越来越少。

在经济学上有边际效用递减的原理，在一定时间内，随着消费某种商品数量的不断增加，消费者从中得到的总效用（满足程度）是在增加的，但是以递减的速度增加的，即边际效用是递减的；当商品消费量达到一定程度后，总效用达到最大值，边际效用为零，如果继续增加消费，总效用不但不会增加，反而会逐渐减少，此时边际效用变为负数。

经济增长模型

通过研究经济增长模型，我们可以解释各国的经济增长模式。首先介绍一个标准的经济生产模型，其中产出取决于劳动和资本。经验证据指出，产出是劳动力和资本的凹函数。保持固定资本，随着投入的劳动力的增加，新增劳动力的产生的价值应该变得越来越低。 柯布道格拉斯模型（CobbDouglassmodel）是经济学中使用最广泛的模型之一，给定L个工人和K个单位资本，总产出如下：$$O_t = C * K_t ^ {\beta} L_t ^ {1-\beta}$$

C是常数, $\beta$ 是是介于0到1之间的实数，表示劳动力的相对重要性。在这里我们简单起见，使用1/2。我们可以把劳动力和资本结合起来看作一个机器M的产出,假设常数是100。这样在t时刻，$O_t= 100 \sqrt{M_t}$。我们有了一定的产出，之后我们可以将产出的部分进行储蓄，之后拿这部分再进行投资。同时我们使用的机器是有损耗的，用到一定时间就需要买新的。我们可以得到如下的方程

  • 产出函数：$O_t= 100 \sqrt{M_t}$
  • 投资规则：$I_t=s×O_t$
  • 消费-投资方程：$O_t=C_t+I_t$
  • 投资-折旧方程：$M_{t+1}=M_{t}+I_{t} - d × M_t$

其中，$O_t$=产出，$M_t$=机器，$I_t$=投资，$C_t$=消费，s=储蓄率，d=折旧率。我们可以看出由于O是凹函数，所以增加机器的时候，产出的增加会变少。最终就会出现一个均衡，当新的投资和折旧相等的时候，机器数量就不会改变了，产出量也会保持固定。这就带来了一个问题，如何打破这种均衡，实现更多的产出呢？

答案就是创新，技术的进步可以改变原有的生产模型。这里我们介绍简化的索洛增长模型（Solow Growth Model）。

  • 产出模型：$O_t = A_t K_t ^ {\beta} L_t ^ {1-\beta}$
  • 长期均衡产出$O^\star = A_t^2 L \frac{s}{d}$

这里的A表示技术水平，创新增加的产出要比线性增长更快。创新有两个作用：首先，创新直接增加产出；其次，创新间接导致更多的资本投资，从而导致产出再次增加。因此，创新是持续增长的关键,其对于产出的影响是呈平方增加的。

需要注意的是，产出的增加不是瞬间发生的。当技术出现了一个突破时，技术参数的变化是相当缓慢的，技术的影响需要随着时间的推移显现。旧的实物资本必须被新技术的新实物资本所取代。例如计算机技术的突破，公司老的电脑不会立即更换，只有当他们购买了新的计算机时，员工进过培训学会使用了之后，产出得到提高。技术对增长的影响滞后，可能意味着创新在出现后的几十年时间内才会导致增长。这里举一个例子，在阿帕网（ARPANET）出现整整30年后，互联网才开始步入繁盛期。

总结

学习这些模型可以帮助我们更深入理解一些直观的想法，在生活中，我们更容易使用线性思维去思考经济的增长，利用模型我们则可以看出其非线性的部分。对于一个公司来说，创新是一个公司突破长期均衡点的关键,对于国家的增长亦是如此。